$n^2+2n+1 = (n+1)^2$ です。$n = -1$, $n = 0$ のとき $0$, $1$ であり素数ではありません。$n \ge 1$ のとき素数二つ以上の積となるので素数ではありません。 また、$n \lt -1$ についても同様に素数でないことがわかります。 よって、$n^2+2n+1$ 型の素数の集合は $\emptyset$ とわかります。
以上より、$l$ 以上 $r$ 以下の $n^2+2n+1$ 型の素数を列挙したい場合は、$\{i\in\N\mid l\le i\le r\}\cap\emptyset = \emptyset$ を出力すればよいです。
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$n^2+1$ 型の素数の列挙というのがあります。$\{2, 5, 17, 37, 101, 197, \dots\}$ です。
$n\le m$ でのこれの列挙のために、愚直に線形篩を使う*1と $\Theta(m^2)$ 時間となってしまいます。$O(m\log(m))$ とかでできていそうです（$\Theta$ かはあまり考えていません）。あるいは $O(m)$ に落ちるんでしょうか。
おわり
ei1333 の日記 リスペクト企画でした。
*1:線形篩自体は洗練された道具だと思いますが、それの使い道としては愚直ですねという意味です。
