「任意の」を「全ての」と読み替えさせる風潮に対するお気持ち表明

「任意の」の気持ちがわかっていないまま、そういう文を読まされるのもつらいと思うので書きます。

言葉の意味に関して
空の場合に関して
- 別の例
英語に関して
関連？
おまけ
おわり

言葉の意味に関して

「任意の \(x\in S\) に対して \(P(x)\) が成り立つ」と言ったとき、これを「全ての \(x\in S\) に対して \(P(x)\) が成り立つ」と読み替えないとちゃんと解釈できない人がいるようです。「数学における「任意の」は「全ての」という意味」などと教えるのはよくないような気がしています。

「\(S\) から任意に選ぶ」と言ったとき、「\(P(x)\) を成り立たせるように自由に選ぶ」という意味合いはないです。どちらかというと、「\(P(x)\) が成り立ってほしくない人が \(S\) から自由に選んでも、\(P(x)\) が成り立ってしまう」という方が近いかもしれません。

「全ての」と読み替えたとしても、証明の段階になると「\(x\in S\) を固定する」などといったことをする必要があり、それなら最初から「任意の」の気持ちでいた方が自然なのでは？と思ってしまいます。

また、「任意の \(x\in S\) を選ぶ」などの文脈では「全ての \(x\in S\) を選ぶ」とはできず、うまくいかない気もします。

空の場合に関して

たとえば、「任意の \(x\in S\) について \(x\) が偶数であるとき、\(S\) を偶数集合と呼ぶ*1」としてみます。

\(\{2, 6, 12\}\) を見た初心者は「\(2\) も \(6\) も \(12\) も偶数なので、それは偶数集合であるなあ」となるし、\(\{4, 3\}\) を見た初心者は「\(4\) は偶数だけど \(3\) は偶数ではないからこれは偶数集合ではないなあ」となるでしょう。

このとき、\(\{2, 6, 12\}\) に関しては “偶数集合っぽい根拠” として \(2\) などがあるので安心感がありそうですが、空集合 \(\emptyset = \{\}\) ではそうした根拠っぽい要素がないため、不安になる人もいるような気がします*2。

実際には、「任意の \(x\in S\) に対して \(P(x)\) が成り立つ」と言ったとき、「実際に何らかの \(x\in S\) が存在して \(P(x)\) を満たす」という必要はないため、そうした根拠を探す必要はありません。

擬似コードで言えば、次のようなイメージです。

fn for_any(s: Set, p: Predicate) -> bool {
    for x in s {
        if p(x) {
            continue; // ok, do nothing
        }
        return false; // bad element found
    }
    true // no element is bad
}

s が空のときは true になりますね。

あるいは、「任意の \(x\in S\) について \(P(x)\) が成り立つ」の否定は「ある \(x\in S\) が存在して \(P(x)\) が成り立たない（\(\neg P(x)\) が成り立つ*3）」となりますが、空のときは \(\neg P(x)\) が成り立つような要素が（\(S\) が空なので）存在せず、これは偽となります。否定した命題が偽だったので、元の命題は真であるとわかります。

先の初心者の気持ちに基づく「\(S\) の中にそれっぽい要素がないから、「任意の〜」は偽？」だと辻褄が合わないことがわかりますね。

ところで、vacuous truth という用語があるようです。

別の例

配列 \(a = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1})\) に対し、任意の \(1\le i \lt n\) について \(a_{i-1}\lt a_i\) が成り立つなら \(a\) は単調増加であると言う。

このとき、要素が 1 つしかない配列 \(a = (a_0)\) は単調増加と言えるでしょうか？

\(n = 1\) なので、任意の \(1\le i\lt 1\) について \(a_{i-1}\lt a_i\) が成り立つ必要がありますが、そのような \(i\) は存在しない（\(\{i\mid 1\le i\lt 1\} = \emptyset\)）ので、これは自明に*4真であり、\(a\) は単調増加と言えます。

\(n = 0\) である空の配列 \( ()\) についても同様です。

英語に関して

「任意の \(x\) に対して〜」の文脈で、英語だと “For any \(x\in S\), \(P(x)\) holds.” とか言ったりします。「どう選んでも満たす」感がある気がします。

一方で、“If any element satisfies the predicate, ...” と言ったとき、「何らかの要素がその述語を満たすなら、」となり、「ある○○が存在して」の意味で any が使われているので注意が必要かもしれません。「どれかしらが満たすなら」感がありそうです。

If の文脈で「任意の要素が」と言いたいときは “If every element satisfies the predicate, ...” とか言える気がします。

イテレータや配列の全ての値が条件を満たす・条件を満たす要素があるか判定する関数が慣例的に all any と命名されがちですが、混乱する人もいそうです。 JavaScript では every some と命名されており、曖昧じゃなさそう感があります。

「every や each などは個々を意識しており、all は全体として指している」のような話があった気もします。証明の際にも個々を意識して（要素を固定して）いますね。any も前者側だと思います。

おまけ

友達を作らないでおくことで、「友達はみんな○○だよ」を恒真命題として使えることに気づいちゃった
— えびちゃん🍑🍝🦃 (@rsk0315_h4x) 2022年7月9日

子「ねえ○○買ってー、友達はみんな持ってるよ」
親「友達って誰々のこと？」
子「？友達は一人もいないよ」
親「たしかに命題は真だね、買ってあげよう」

となったら、親もなかなかすごいけど
— えびちゃん🍑🍝🦃 (@rsk0315_h4x) 2022年7月9日

おわり

にゃんい

*1:適当に命名しました。

*2:空集合を \(\phi\) と呼ぶ人に対するお気持ち表明。\(\phi\) と \(\emptyset\) は別の記号です。たとえば「シ」と「ツ」が別の文字なのと同様ですね。

*3:\(\neg P\) は \(P\) の否定を表す。

*4:ここでの「自明」とは「定義から直接的に導かれる」くらいの意味合いであり、「初心者にとっても直感的にわかる」のような意味合いではないので、注意が必要かもしれません。

えびちゃんの日記

えびちゃん（競プロ）の日記です。

「任意の」を「全ての」と読み替えさせる風潮に対するお気持ち表明

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別の例

英語に関して

関連？

おまけ

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